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Exercícios Resolvidos de Série alternada

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Enunciado

Teste da razão

( c )   Verifique se a série converge condicionalmente, absolutamente ou diverge:

∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! k k

Passo 1

Para verificarmos a convergência da série

∑ k = 1 ∞ - 1 k k ! k k

vamos usar o Teste da Razão. Como a k = - 1 k k ! k k , temos

L = lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k

L = lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 1 ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) k + 1 - 1 k k ! k k

L = lim k → ∞ ⁡ ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) k + 1   k k k !

Passo 2

Escreva k + 1 ! = k + 1 . k ! e k + 1 k + 1 = k + 1 k . ( k + 1 ) :

L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 . k ! ( k + 1 ) k . ( k + 1 )   k k k !

L = lim k → ∞ ⁡ 1 ( k + 1 ) k   . k k

L = lim k → ∞ ⁡ k k + 1 k

Passo 3

Agora você precisa lembrar de um limite fundamental...

e = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k k = lim k → ∞ ⁡ 1 + 1 k k

Agora fica fácil, né?

L = lim k → ∞ ⁡ k k + 1 k = L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k k - 1

L = lim k → ∞ ⁡ k + 1 k k - 1

L = e - 1 = 1 e

Como e ≈ 2,718 , L = 1 e ≈ 0,368 < 1 . Assim, verificamos que a série é absolutamente convergente.

Resposta

Absolutamente convergente.

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