Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo.

Agora que conseguimos escrever a nossa série na forma de uma série alternada, podemos testar a convergência condicional por meio do teste da série alternada. Consideramos a série na forma:

Ou seja,

Vamos começar verificando . Para isso, definimos a função com:

Só trocando ali o por um real. Vamos olhar para a função no domínio que queremos. Para , como o denominador vai crescendo e o numerador é constante

é decrescente. Além disso, para , temos:

E para outros valores, como :

Ou seja, o seno sempre está no primeiro quadrante se aproximando de zero para o domínio em questão. Assim, teremos que

será descrente também. Portanto:

é decrescente e temos:

Show. Um critério já foi.

Agora vamos para

Para isso, testamos:

Pela natureza do nosso amigo seno:

Assim, pelo teorema do confronto, ou sanduíche para os íntimos:

Portanto, teremos:

Show, agora precisamos testar a convergência absoluta. Lembrando que uma série converge absolutamente se converge. Então a nossa série vai convergir absolutamente se a série:

Convergir. Mas essa série não converge! Vamos ver por quê.

Vamos fazer o teste da comparação no limite. Vou usar a série alternada :

Vou fazer a substituição: . Assim, quando m vai pra infinito u vai pra zero. Então:

Como temos podemos usar L’Hospital:

Como o limite deu igual a 1, que é maior que zero, as duas séries vão se comportar do mesmo modo.

Portanto, nossa série é condicionalmente convergente.