Teste da raiz, Séries alternadas
Determine se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
Bem galera, temos aí uma típica série alternada, primeira coisa a se fazer é verificar se ela é absolutamente convergente, ou seja, queremos ver se a série em módulo:
Converge.
O Critério da raiz me parece uma ótima ideia, já que tem uma grande parte da série elevada ao mesmo expoente:
Então temos
Como esse cara dentro do módulo é sempre positivo temos
Então fazemos o limite:
Passo 2
Vamos resolver o primeiro limite:
Isso é uma indeterminação meio louca, para resolvermos isso temos que lembrar que
Então
Então precisamos do limite
Isso é uma identerminação que podemos usar L’Hospital
Assim o nosso limite vai ser
Passo 3
Vamos agora para o outro limite
Isso são dois polinômios, então vamos colocar o maior grau em evidência
Passo 4
Vamos ter
Como esse limite é maior que , essa série diverge pelo teste da raiz
Passo 5
Agora queremos saber se a série é condicionamente convergente.
Para isso temos que achar o limite de e ver se ele é decrescente, onde
Vamos começar com o limite
O primeiro limite vai para , então resta ver se o outro limite vai para alguma coisa diferente de .
Passo 6
Vamos ao limite
Repara que temos
Mil indeterminações né? Vamos começar arrumando o , para isso colocamos o maior grau desses polinômios em eviência
Passo 7
Assim temos
E essa série diverge
Resposta
Diverge