UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 3º Estágio - 2022.1, Questão 4.
4 – Determine se a seguinte série alternada converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Lembra como fazemos isso? 🤔
Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.
Se isso não acontecer, o que temos que fazer é partir para a tentativa e erro...
Bora lá! 😁
Passo 2
Analisando a série vemos uma característica interessante... o termo
Com esse termo, vemos que a série é na verdade uma série alternada, portanto pra isso vamos aplicar o teste da série alternada!
Esse método consiste em verificar dois requisitos...
Primeiro deve decrescer e segundo, o deve ser igual a
Bora lá!
Se , então .
Vamos escrever os primeiros termos de para ver se eles decrescem
Perceba que quanto mais o passa, maior é o denominador e, portanto, menor é o resultado.
Portanto o primeiro critério é verdadeiro!
Entendeu essa parte? 😉
Passo 3
Agora vamos para o segundo critério.
Calculando o limite de , temos
Substituindo por , vemos que a fração vai a pois o denominador vai a um valor muito alto.
Portanto, o segundo critério também é verdadeiro!
Por esse teste, vemos que a série converge absolutamente
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Converge absolutamente.