3- Para cada uma das séries abaixo determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique.
a)
Passo 1
Bem, se temos uma série alternada, acredito que o melhor a se fazer é começar avaliando pelo teste da série alternada:
Para isso, temos que verificar se:
- A série é positiva?
- A série é decrescente?
No nosso caso, vemos que...
Como o termo da série deu maior que , então sim! Ela é positiva!
Para verificar isso, basta ver se o termo geral vai a . Como ela é positiva, se isso acontecer, então ela só pode decrescer! Como no nosso caso...
Então ela de fato decresce!
Logo, pelo teorema de série alternada:
Passo 2
Não acabamos ainda, neh, já que ela ainda pode convergir absolutamente ou não. Então vamos verificar lembrando que para isso, basta aplicar um módulo no termo da série...
E analisar a convergência da série que surgiu!
Veja que como o termo geral continua sendo positivo decrescente podemos aplicar agora o teste da Integral. Talvez ele seja útil, pois sabemos integrar essa função aqui:
Por uma substituição:
Não se esqueça de mudar os limites de integração também:
Logo...
Como a solução dessa integral divergiu, a série:
Também diverge e, portanto, ela não converge absolutamente!