Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Vamos começar vendo a convergência da série em módulo:
Usaremos o teste da comparação no limite, ok? Temos que:
E vamos escolher:
Vamos calcular o limite da razão entre esses termos e se obtivermos um número maior que zero e diferente de infinito, ou as duas convergem ou as duas divergem.
Como é a série harmônica e sabemos que ela diverge, isso significa que o módulo da nossa série também diverge.
Passo 2
Para analisar a convergência da nossa série, vamos usar o teste da série alternada, ok? Vamos lembrar dele rapidamente:
“A série é convergente se e ”
Bom, então vamos à luta:
Para ver se esse termo é decrescente, vamos calcular a derivada dele. Façamos:
Queremos que a derivada seja negativa sempre a partir de um certo ponto, sendo que:
Então, pelo teste da série alternada, a série é convergente.
Logo, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.