USP – Cálculo 4 – 2019 – P1 – Exercício 5
Considere as séries:
Podemos afirmar que convergem absolutamente:
a) Apenas (I) e (II).
b) Apenas (I) e (III).
c) Apenas (II) e (III).
d) Todas as séries (I), (II), e (III).
e) Apenas (II).
Passo 1
Prontos para mais uma questão de prova da POLI! Vamos juntos que o RespondeAi vai ajudar vocês!
O enunciado forneceu três séries alternadas e quer saber quais delas convergem absolutamente. Para isso, você deve lembrar que se é uma série, ela vai convergir absolutamente se a série for convergente.
Nesse caso, todas as séries são do tipo
Assim, para estudarmos a convergência absoluta dessas séries, temos que considerar as séries do tipo
A primeira série é
Para estudar a convergência absoluta dessa série, temos que considerar
Sabemos que
Pela desigualdade triangular:
Juntando as duas relações:
Portanto,
Passo 2
Agora vamos olhar para uma outra série:
Esse é uma p-série com . Portanto, ela é uma série convergente! Assim, como
pelo teste da comparação, como a maior série converge, a menor também vai convergir! Com isso, a série (I) é absolutamente convergente!
Passo 3
Agora vamos olhar para a segunda série:
Para estudar a convergência absoluta, temos a série
Sabemos que
Portanto,
Com isso,
Mas a série da direita (maior) é uma p-série com . Sabemos que ela é convergente! Pelo teste da comparação, a série da esquerda (menor) também será convergente! Com isso, a série (II) também é absolutamente convergente!
Passo 4
Por fim, vamos olhar para a última série
Para analisar a convergência absoluta:
O termo geral dessa série é
Vamos usar o teste da razão:
Fazendo :
Com isso, pelo teste da razão, como , a série é divergente. Portanto, a série (III) não é absolutamente convergente.
Desta forma, a resposta está na alternativa A!
Resposta
Alternativa A.