Para cada, considere a série
Verifique se a série converge quando , pelo critério de Leibniz.
Determine o valor da soma da série do item com erro inferior a .
Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.
Passo 1
Verifique se a série converge quando , pelo critério de Leibniz.
Vamos substituir o valor na série então:
Para usar o critério de Leibniz, precisamos que, dada uma série :
Então vamos nessa!
Começando com:
Beleza, agora veja que é bem claro que é decrescente pois:
Logo:
Então, pelo critério de Leibniz, a série converge.
Passo 2
Determine o valor da soma da série do item com erro inferior a .
Como estamos tratando de uma série alternada, temos:
Como queremos que o erro seja inferior a , faremos:
Para :
Portanto:
Passo 3
Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.
Vamos aplicar o critério da razão para a série em módulo:
Para ; a série converge absolutamente, pelo critério da razão.
Para ; o termo geral não vai a zero, logo a série diverge.
Para ; o teste é inconclusivo, mas de qualquer maneira podemos afirmar que o raio de convergência é .
Passo 4
Para
E já sabemos que essa série é a harmônica com o sinal trocado, então ela diverge.
Passo 5
Para
Para avaliar a convergência dessa série, vamos usar o critério de Leibniz:
Além disso, sabemos que é decrescente. Então, pelo critério de Leibniz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série converge.