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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Passo 1

Vamos derivar essa função implícita aí!

y 2 cos ⁡ x e x ' = 2 ln ⁡ y '

Lembrando, ao derivar as funções de y vai aparecer um y ' , pela Regra da Cadeia, que é justamente o que procuramos nessa questão.

y 2 cos ⁡ x ' e x - y 2 cos ⁡ x e x ' e x 2 = ln ⁡ 2 2 ln ⁡ y ' ln ⁡ y '

y 2 cos ⁡ x ' + y 2 ' cos ⁡ x e x - y 2 cos ⁡ x e x e 2 x = ln ⁡ 2 2 ln ⁡ y y ' y

y 2 - sen ⁡ x + 2 y y ' cos ⁡ x e x - y 2 cos ⁡ x e x e 2 x = ln ⁡ 2 2 ln ⁡ y y ' y

Está derivado! Eu sei que ficou bem feia essa expressão, mas agora tudo se resume a pegar isso e aplicar os valores de x e y pedidos:

Passo 2

Aplicando

x = 0       ;       y = 1

Teremos:

1 2 - sen ⁡ 0 + 2 1 y ' cos ⁡ 0 e 0 - 1 2 cos ⁡ 0 e 0 e 2 0 = ln ⁡ 2 2 ln ⁡ 1 y ' 1

0 + 2 y ' 1 1 - 1 1 1 = ln ⁡ 2 2 0 y '

2 y ' - 1 = ln ⁡ 2 1 y '

y ' 2 - ln ⁡ 2 = 1

y ' = 1 2 - ln ⁡ 2

Resposta

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub