USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 3.35.
3.35. (P1-2016) Seja uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em e dada implicitamente pela equação . O valor de é
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, queremos calcular a derivada de em , porém a função é dada pela equação
Tem ideia do que podemos fazer? 🤔
Para obter a derivada de vamos aplicar o método da derivação implícita, ou seja
Quando temos uma função dada implicitamente, essa formulinha nos ajuda demais
Vamos ver como fazemos isso? 😉
Passo 2
Primeiro passamos todos os termos da equação para um lado da igualdade
E depois definimos uma função , ou seja
Derivando com relação a pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Agora derivamos com relação a pelo mesmo método
Substituindo na fórmula da derivada implícita, temos
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Agora o que nos resta é substituir o ponto em .
Porém, também precisamos do valor de que ainda não temos... pra obter , vamos substituir por na equação inicial
Fatorando essa equação, temos
Da primeira equação, temos que , mas da segunda, não temos raízes reais, então temos apenas um valor
Agora sim...
Substituindo e em
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
