1. Em cada item: (1) determine y' implicitamente, (2) encontre y explicitamente, (3) derive o resultado obtido em (2) para encontrar y' em termos de x , (4) substitua y encontrado em (2) na expressão encontrada em (1) e verifique que a resposta é consistente com o (3).

c. raiz(x) + raiz(y) = 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função implícita (ou seja, y não esta isolado) para derivar.

Então bora derivar como pede o item (1)

  x + y = 1

Derivando implicitamente, ficamos com

1 2 x + 1 2 y y ' = 0

Isolando y '

y ' = 2 y - 1 2 x

y ' = - y x

Prontinho! Podemos parar por aqui, pois no item (4) vamos substituir y na equação.

Passo 2

Agora no item (2) devemos isolar y na função original. Fica assim,

x + y = 1

y = 1 - x

y = 1 - x 2

Agora o próximo passo é derivar!

Passo 3

No item (3), temos que derivar a função encontrada em (2)

y = 1 - x 2

Para derivar y , vamos usar a regra da cadeia

y ' = 1 - x ' 1 - x 2 '

Derivando,

y ' = - 1 2 x 2 1 - x

y ' = = - 1 - x x

Falta só mais um item!

Passo 4

No item (4), nós temos que substituir a equação encontrada em (2),

y = 1 - x 2

Na derivada encontrada em (1)

y ' = - y x

Ou seja, substituindo y , ficamos com

y ' = - 1 - x 2 x

y ' = = - 1 - x x

Opaaa, repara que a derivada encontrada é equivalente a derivada encontrada em (3).

Resposta

No texto.

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