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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista sobre Derivadas, Questão 8.28

Calcule g   ′   ( x ) , se g ( x )   = c o s ( x ) x 2 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a derivada da função

  g ( x )   = c o s ( x ) x 2 .

Para isso, vamos tomar o l n dessa função, pois temos a propriedade:

l n ( a b ) = b   l n ( a )

Assim, podemos utilizar a regra da cadeia e calcular g   ′   ( x ) de forma implícita.

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos tomar o l n da função:

l n ( g ( x ) ) = l n ( c o s ( x ) x 2 ) = x 2   l n ( c o s ( x ) )

Tomando a derivada e utilizando a regra da cadeia:

d d x l n ( g ( x ) ) = d d x ( x 2   l n ( c o s ( x ) ) )

g ' ( x ) g ( x ) = d x 2 d x   l n ( c o s ( x ) ) + x 2 d   l n ( c o s ( x ) ) d x

g ' ( x ) = g ( x ) ( 2   x   l n ( c o s ( x ) ) + x 2 ( - s e n ( x ) ) c o s ( x ) )

g ' ( x ) = g ( x ) ( 2   x   l n ( c o s ( x ) ) - x 2 t a n ( x ) )

g ' ( x ) = c o s ( x ) x 2 ( 2   x   l n ( c o s ( x ) ) - x 2 t a n ( x ) ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g ' ( x ) = c o s ( x ) x 2 ( 2   x   l n ( c o s ( x ) ) - x 2 t a n ( x ) ) .

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