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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

Calcule a derivada y ' da função y x :

x 2 y + sen ⁡ y x = x

Passo 1

Temos que derivar implicitamente essa equação em relação a x .

Pela regra do produto:

x 2 y ' = x 2 ' y + x 2 y ' = 2 x y + x 2 y '

E pela regra da cadeia:

sen ⁡ y x ' = cos ⁡ y x y x '

Pra derivar y x temos que usar a regra do produto:

y x ' = x y ' + y

Ou seja:

sen ⁡ y x ' = x y ' + y cos ⁡ y x

Além disso:

x ' = 1 2 x

Passo 2

Então a equação do enunciado derivada fica:

2 x y + x 2 y ' +   x y ' + y cos ⁡ y x = 1 2 x

Desenvolvendo:

2 x y + x 2 y ' +   x y ' cos ⁡ y x + y cos ⁡ y x = 1 2 x

Passo 3

Agora é isolar o y ' :

y ' x 2 + x cos ⁡ y x = 1 2 x - 2 x y - y cos ⁡ y x

⇒ y ' x = 1 2 x - 2 x y - y cos ⁡ y x x 2 + x cos ⁡ y x

Resposta

y ' x = 1 2 x - 2 x y - y cos ⁡ y x x 2 + x cos ⁡ y x

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