UFSC – 2018.1 – P1
Uma função é dada implicitamente pela equação .
- Determine a reta tangente à curva no ponto .
- Determine os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Pessoal, essa questão é toda sobre reta tangente née.? Então claro que precisamos relembrar da nossa equaçãozinha da reta tangente:
Esse e que aparecem são as coordenadas do ponto em que a reta tangente toca a curva. No caso do item a, o enunciado nos disse que é o nosso ponto é igual a . Então:
Mas e esse? Esse é o coeficiente angular da reta e ele é igual a derivada de em relação a :
Substituindo na equação, temos que a reta tangente que toca a curva no ponto tem essa equação aqui:
Mas e esse? Esse é o coeficiente angular da reta e ele é igual a derivada de . Isso significa que precisamos derivar , mas vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 2
Já que queremos encontrar a reta tangente e a Nnossa função é dada por uma equação implícita:
o primeiro passo queEntão temos que fazer é derivar essa função implicitamente. E pra isso temos que lembrar de uma coisa muito importante: que é uma função de .
ULTRA POWER DICA DO UNIVERSO: Então cCuidado pra não tratar ele como uma constante e errar tudo!
Vamos derivar toda a equação em relação a
Olha como a gente deriva essa parte fundamental, Quando a gente derivaquando derivamos uma função de com relação a , fica bem assim:
Nós primeiro derivamos em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então a derivada de fica:
E pra derivar , como se trata de um produto entre duas variáveis, teremos a soma de duas parcelas, uma delas considerando o fixo e derivando o e a outra parcela considerando fixo e derivando em relação a : :
E por último, a derivada mais tranquila e que não pode ser esquecida:
Então a derivada da nossa função:
fFiica bem assim::
Veja que toda vez que derivamos em relação a , nós também multiplicamos por !
Agora vamos ajeitar a nossa primeira derivada: para aplicar os valores do ponto :
Podemos simplificar toda essa expressão dividindo tudo por :
Passo 3
Agora vamos aplicar os valores de e para o ponto , ou seja:
Substituindo:
Fazendo essas continhas, nós vamos encontrar o valor de :
Que legal, achamos a derivada de no ponto ! Mas ai você me pergunta, pra que mesmo eu quero saber o valor da derivada de ?
Lembra que eu te falei no passo 1, que o coeficiente angular da reta e é igual à derivada de ?
Logo, ele vale:
E agora podemos substituir esse valor na equação da reta tangente
Viu como realmente foi legal achar a derivada de no ponto ?
Substituindo na equação da reta tangente, ficamos com a seguinte reta:
Show, respondemos a letra “a”:
Passo 4
Agora queremos encontrar as coordenadas de um ponto onde essa tangente é horizontal, graficamente isso acontece quando temos a reta que representa a derivada paralela ao eixo , ou seja, precisamos encontrar onde a primeira derivada seja igual a zero:
Vamos relembrar a expressão que achamos lááá no passo 2, pra primeira derivada da função implícita:
Aplicando essa primeira limitação que temos:
Ficamos com apenas:
Logo, encontramos a relação em e :
Passo 5
Beleza? Agora vamos substituir isso na nossa função:
Substituindo:
Vamos fazer essa conta:
Vamos multiplicar tudo por e colocar em evidência:
Para encontrarmos essa igualdade com , temos dois caminhos, ou:
Ou:
Vamos olhar para o caso de , teremos o valor de :
Mas isso não garante que a primeira derivada será igual a zero , veja:
Substituindo e :
Então, apenas o ponto, onde:
E
Pode ser considerado para encontrar a reta tangente horizontal!