Se y = f(x) uma função, derivável em x₀ = 1 , que é dada implicitamente por y * e^(x^2 - 1) + y^3 * x + 2 * x = 2 - 2 * e^(x - 1) . Quanto vale f(1) e f' (1) ?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Você se lembra o que uma para implícita? Basicamente é dizer que y é uma função de x , ou seja y ( x ) e isso faz toda diferença na hora de aplicarmos nossas regras de derivação.

Nessa questão, a gente vai precisar primeiro avaliar qual é o valor da função quando x = 1 , afinal de contas, ela é derivável nesse ponto.

E depois vamos ver como sua derivada implícita se comporta nesse mesmo ponto.

Passo 2

Bem, para encontrar f ( 1 ) , basta substituirmos o valor de x = 1 na equação dada.

f 1 = y e 1 2 - 1 + y 3 1 + 2 × 1 = 2 - 2 e 1 - 1

f 1 → y + y 3 + 2 = 1

y + y 3 = - 1

Note que caímos em uma equação cúbica, onde precisamos encontrar suas raízes! Podemos rearranjar essa equação de tal forma que suas raízes possam ser encontradas de forma mais fácil!

y 1 + y 2 = - 1

y 1 = - 1

1 + y 2 = 0

Note que nessa segunda equação, vamos ter números imaginários, que não fazem parte do domínio dessa função. Logo, a única raiz válida é - 1 , e, portanto:

f 1 = - 1

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente a função dada no enunciada em x 0

f ' x 0 e x 0 2 - 1 + 2 x 0 f x 0 e x 0 2 - 1 + 3 f x 0 2 f ' x 0 x 0 + f x 0 3 = e x 0 - 1

Sabemos que f x 0 = f 1 = - 1

f ' x 0 e x 0 2 - 1 + 2 x 0 f x 0 e x 0 2 - 1 + 3 f x 0 2 f ' x 0 x 0 + f x 0 3 = e x 0 - 1

Logo, temos:

f ' 1 - 2 + 3 f ' ( 1 ) - 1 = 1

4 f ' 1 - 3 = 1

f ' 1 = 1

Tcharaammmm! Chegamos no valor final que estávamos precisando!!!

Resposta

f 1 = - 1

f ' 1 = 1

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