USP – Cálculo I – IME – 2021.1 – Q5
Se uma função, derivável em , que é dada implicitamente por . Quanto vale e ?
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
Você se lembra o que uma para implícita? Basicamente é dizer que é uma função de , ou seja e isso faz toda diferença na hora de aplicarmos nossas regras de derivação.
Nessa questão, a gente vai precisar primeiro avaliar qual é o valor da função quando , afinal de contas, ela é derivável nesse ponto.
E depois vamos ver como sua derivada implícita se comporta nesse mesmo ponto.
Passo 2
Bem, para encontrar , basta substituirmos o valor de na equação dada.
Note que caímos em uma equação cúbica, onde precisamos encontrar suas raízes! Podemos rearranjar essa equação de tal forma que suas raízes possam ser encontradas de forma mais fácil!
Note que nessa segunda equação, vamos ter números imaginários, que não fazem parte do domínio dessa função. Logo, a única raiz válida é , e, portanto:
Passo 3
Agora vamos derivar implicitamente a função dada no enunciada em
Sabemos que
Logo, temos:
Tcharaammmm! Chegamos no valor final que estávamos precisando!!!