Quem é maior: e^π ou π^e

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1.

Queremos descobrir qual número é maior

e π   o u   π e

Bem, vamos resolver!!!

Passo 2

Vamos começar vendo a função f ( x ) = x 1 / x x   ∈ [ e , ∞ ]

Vamos começar obtendo a derivada de

f ( x ) = x 1 / x

Para isso, vamos fazer uma derivada implícita. Defina

y ( x ) = x 1 / x

⇒ l n ( y ( x ) ) = l n x x

Agora podemos derivar implicitamente

temos:

1 / y ( x )   *   y ' ( x ) = 1 - l n ( x ) x ²

⇒ y ' ( x ) = x 1 / x * ( 1 - l n ( x ) x ² )

Agora, note que para x ∈   ] e ,   + ∞ [ .

1 - l n ( x ) < 0

Pois se

Dessa forma, provamos que f ( x )   = x 1 / x é estritamente decrescente em ] e ,   + ∞ [

Passo 3

Logo como provamos que a função é estritamente decrescente, temos que

π 1 / π < e 1 / e

elevando a e π , e pelo fato de

(   e ) 1 / e < 1

e

(   π ) 1 / π < 1

⇒ e π e / e > π π e / π

Logo

( π ) e   <   ( e ) π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

  ( e ) π

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