24. Use derivação implícita para calcular dy / dx nos itens a seguir:

i) 1/x + 1/y = 1

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação 1 x + 1 y = 1 .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

1 x + 1 y = 1 → 1 x + 1 y - 1 = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = 1 x + 1 y - 1

f = 1 x + 1 y - 1

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x

f x = ∂ 1 x + 1 y - 1 ∂ x = - 1 x 2

Agora com relação a y

f y = ∂ 1 x + 1 y - 1 ∂ y = - 1 y 2

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - - 1 x 2 - 1 y 2

d y d x = - y 2 x 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

d y d x = - y 2 x 2

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