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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 24j

24. Use derivação implícita para calcular d y d x nos itens a seguir:

j) x 3 + x y 3 = 4 y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, nosso objetivo é obter a derivada implícita d y d x da equação x 3 + x y 3 = 4 y 2 .

Parece difícil fazer isso? 🤔

Para calcular a derivada implícita de uma equação temos que passar todos os termos da equação para um lado e fazer f = 0 e aplicar a razão

d y d x = - f x f y

Ou seja, temos que derivar f parcialmente em relação a x e y e substituir na equação da derivada implícita.

Bora começar! 😉

Passo 2

Passando todos os termos da equação para um lado

x 3 + x y 3 = 4 y 2 → x 3 + x y 3 - 4 y 2 = 0

Fazendo f = 0

f = 0 = x 3 + x y 3 - 4 y 2

f = x 3 + x y 3 - 4 y 2

Calculando as derivadas parciais de f .

Primeiro com relação a x pela regra da cadeia

f x = ∂ x 3 + x y 3 - 4 y 2 ∂ x = y 3 + 1 3 x 2 3

Agora com relação a y também pela regra da cadeia

f y = ∂ x 3 + x y 3 - 4 y 2 ∂ y = x 3 - 24 y 5 3 3 y 2 3

E por fim, substituindo na derivada implícita, temos

d y d x = - f x f y = - y 3 + 1 3 x 2 3 x 3 - 24 y 5 3 3 y 2 3

d y d x = - y 3 + 1 y 2 3 x 3 - 24 y 5 3 x 2 3

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

d y d x = - y 3 + 1 y 2 3 x 3 - 24 y 5 3 x 2 3

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Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub