UFABC – Fundamentos de Mecânica – Lista 2 – Questão 7
Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e este a rebate cabeceando, a aceleração que a cabeça sofre durante a colisão pode ser apreciável. Partindo do repouso, a Figura abaixo mostra esta aceleração em função do tempo, a(t): Trata-se da cabeça do jogador de futebol medida em duas situações: quando ele usa a cabeça desprotegida (Bare) e quando o faz usando um capacete (Helmet). Qual é a diferença entre as velocidades da cabeça desprotegida e com o capacete no instante t = 7 ms?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!
O problema nos deu um gráfico de aceleração versus tempo e nos pediu para calcular a diferença entre as velocidades no instante .
Para começar vamos lembrar a definição de velocidade:
sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando.
Então, a partir das áreas dos gráficos, conseguimos extrair o valor da velocidade em cada instante de tempo.
Assim, podemos encontrar a diferença entre a velocidade da cabeça sem (Bare) e com capacete (Helmet) no instante () calculando a diferença dessas áreas ().
Porém, como nem tudo são flores, precisamos prestar atenção as unidades do problema. O eixo da aceleração (eixo ) está em e o eixo do tempo (eixo ) está em , logo, precisamos consertar as unidades.
Além disso, podemos ver que se , cada quadradinho no eixo tem .
A ideia para a resolução de problemas como este (com gráficos), o macete é separar o gráfico em figuras com as fórmulas de áreas conhecidas. As fórmulas das áreas figuras que aparecem neste exercício são:
Beleza? Mas calma, vou fazer junto com você! Vamos lá?
Passo 2
Neste caso, dividiremos a área total em quatro partes: dois triângulos e dois trapézios.
Primeira divisão (triângulo amarelo):
Segunda divisão (trapézio vermelho):
Terceira divisão (trapézio verde):
Quarta divisão (triângulo azul):
Assim, encontramos a velocidade da cabeça sem capacete () no instante somando as áreas acima:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora, faremos de maneira análoga para calcular a velocidade da cabeça com capacete (). A área que calcularemos é a área embaixo da curva mais abaixo :
Para esta área podemos separar em outras quatro partes: dois triângulos, um retângulo e um trapézio:
Primeira divisão (triângulo amarelo):
Segunda divisão (retângulo vermelho):
Terceira divisão (trapézio verde):
Quarta divisão (triângulo azul):
Assim, a velocidade da cabeça com capacete () no instante é:
Belezinha?
Passo 4
Para finalizar, utilizando os resultados dos passos 2 e 3 podemos calcular a diferença entre a velocidades sem e com capacete (). Com os valores das velocidades em mãos, basta subtrair uma da outra:
E é isso!
Espero ter ajudado!