UFABC – Fundamentos de Mecânica – Lista 2 – Questão 8
Uma partícula parte da origem em t = 0 s e se move ao longo do eixo x. O gráfico da velocidade da partícula em função do tempo, v(t), é mostrado na Figura abaixo.
(a) Qual é a coordenada da partícula no instante t = 5 s?
(b) Qual é a sua velocidade em t = 5 s?
(c) Qual é a sua aceleração em t = 5 s?
(d) Qual é a sua velocidade e aceleração médias entre t = 1 s e t = 5 s?
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Essa questão aprece complicada, mas vou ajudar aqui! Foi dado um gráfico de velocidade por tempo e o enunciado perguntou uma série de valores.
O primeiro item pediu a coordenada da partícula em um certo instante de tempo. Bom, para isso precisamos lembrar que quando temos um gráfico de a área embaixo da curva representa o deslocamento da partícula! Taí a primeira dica para resolver!
Para encontrar a velocidade em um certo instante, basta olhar para o gráfico! Aqui precisamos ficar de olho na escala do gráfico! E no fim, a aceleração média é a variação da velocidade em um certo intervalo de tempo.
Então a ideia para resolver é o seguinte: lembrar desses conceitos, retirar toda as informações do gráfico e partiu calcular!
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a):
Para começar vamos lembrar a definição de deslocamento:
sem esquecer que a integral é a área da função que estamos integrando!
O exercício nos deu o gráfico da velocidade. Então, para calcular o deslocamento, ou a posição da partícula em (, considerando que a posição inicial é zero), basta calcularmos a área do gráfico de até .
Para resolução de problemas como este (com gráficos), o macete é separar o gráfico em figuras, para as quais as fórmulas de área são conhecidas. A fórmula que você precisa saber para resolver este exercício é:
Então, separando o gráfico acima em duas partes, ficamos com:
Primeira figura (trapézio amarelo):
Segunda figura (trapézio verde):
Portanto, para encontrar a posição da partícula no instante somamos as áreas calculadas acima:
Beleza? Vamos para o próximo item?
Passo 3
Letra (b): velocidade no instante .
Podemos retirar a velocidade no instante olhando diretamente o gráfico dado. Como o enunciado diz que dois retângulos equivalem a , então um retângulo equivale a .
Portanto, como no instante o gráfico da velocidade intercepta o primeiro retângulo da grade, a velocidade neste instante é:
Passo 4
Letra (c): aceleração em .
Para resolver esta etapa vamos lembrar a relação da velocidade e da aceleração: a aceleração é a variação da velocidade no tempo, ou seja, é a inclinação da velocidade no gráfico de velocidade por tempo.
Logo, para determinar a aceleração no instante precisamos determinar o coeficiente angular da reta, ou seja, a tangente de :
Notem que a reta está descendo, então é correto que a aceleração seja negativa!
Beleza?
Vamos para o último item?
Passo 5
Letra (c): velocidade e aceleração médias entre t = 1 s e t = 5 s
Para calcular a velocidade média precisamos ter em mente que nem sempre a velocidade média e a velocidade instantânea serão numericamente iguais. Neste problema, por exemplo, a velocidade média e a velocidade instantânea não são iguais!
Então, vamos definir primeiro o que é velocidade média: é a variação da posição sobre a variação do tempo.
Portanto, para calcular a velocidade média da partícula entre e precisamos calcular o deslocamento nesse período e para calcular esse deslocamento vamos ter que calcular a área do gráfico entre estes instantes:
Calculando as áreas e aproveitando a simetria da figura:
Primeira figura (trapézio laranja):
Segunda figura (retângulo verde):
Portanto, o deslocamento total entre os instantes e é:
Usando a definição de velocidade média, temos:
Ufa! Quase no fim!
Passo 6
E por fim a aceleração média!
Relembrando, inicialmente, a definição de aceleração média:
Como a velocidade no instante é igual a velocidade no instante , então a variação da velocidade é zero e, portanto:
E é isso!
Espero ter ajudado!