Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique as respostas.

b)

∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar se a seguinte série S converge ou diverge:

S = ∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1

E aí??? Como a gente resolve isso???

Bom, uma forma é aplicarmos o Teste da Comparação que pode ser entendido da seguinte forma:

Supondo duas séries de termos positivos ∑ a n e ∑ b n :

  • Se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge;
  • Se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge;

Dessa forma, temos que encontrar uma série maior que S e compará-las.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, sabemos que:

n n 2 + 1 < n n 2

Simplificando o maior termo, temos:

n n 2 = n 1 / 2 n 2 = 1 n 3 / 2

Olhando acima, percebemos que trata-se de uma P-Série com p > 1 , portanto, converge.

Como essa série converge e ela é maior que n n 2 + 1 , então temos que ∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1 converge.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1 converge

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