UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 2c
Diga se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Oi, tudo bem?
Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!
Para dizer se uma série diverge ou não, precisamos aplicar os testes! Mas qual escolher?
Então, o primeiro teste que aplicamos é o teste da divergência! Com esse teste, já sabemos logo de cara se a série diverge. Então é um bom teste para começar!
O teste da divergência nos diz o seguinte:
Seja uma série do tipo
Se
Então a série diverge
Caso o limite seja , não podemos afirmar nada sobre a convergência dela!
Então vamos aplicar esse teste?
Nossa série é:
E o
Precisamos calcular o limite de quando (e aqui valem todas as técnicas de resolução de limites que você viu lá no cálculo 1, ta?):
Como surgiu uma indeterminação, vou colocar em evidência embaixo e em cima:
No infinito em cima só sobrevive o termo e embaixo, o termo , então esse limite pode ser simplificado só com esses termos:
Poxa vida! Sabemos que o teste da divergência é inconclusivo quando o limite vai à zero!
Sendo assim, precisamos de outro teste!
Mas calma! Tem luz no fim do túnel!
Vamos dar uma espiadinha na expressão que encontramos quando simplificamos o limite:
Temos que essa expressão é maior do que :
Isso nos sugere que podemos fazer uma comparação
Passo 2
Um outro teste bem poderoso é o teste da comparação!
Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.
E daí podemos ter duas opções:
- Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
-
Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir
Como a série harmônica é divergente e é menor do que nossa série, então o teste da comparação é perfeito aqui!
Passo 3
A série que está “por baixo” é a série harmônica:
E sabemos que o comportamento dela é divergente.
Por outro lado, nossa série está “por cima”
Então se a série harmônica diverge, a nossa série também diverge
Concluímos que o comportamento da série
É divergente.
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?