4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(f) Se ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n são convergentes, então ∑ n = 1 ∞ a n b n é convergente.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, nosso intuito é julgar algumas afirmações a respeito de séries e sequencias e dizer se tal afirmação é verdadeira ou falsa além de comprovar nosso resultado com cálculos matemáticos.

No caso a afirmação que vamos analisar nos diz que se temos duas séries ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n em que as duas são convergentes então certamente ∑ n = 1 ∞ a n b n também é convergente.

Será mesmo? O que você acha?? 🤔🤔

Para resolver essa questão, vamos considerar R n e S n a convergência de ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n , respectivamente.

Como a n e b n convergem, então R n e S n são os valores que tais séries vão convergir.

Entendeu essa parte? 😎

Passo 2

Agora vamos chamar T n o valor que da série ∑ n = 1 ∞ a n b n , ou seja, a soma do produto de a n b n para n → ∞ .

Pelas propriedades dos somatórios, temos que

∑ n = 1 ∞ a n · ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ a n b n

Então, temos

R n · S n = R n S n

Mas dizemos que ∑ n = 1 ∞ a n b n é igual a T n , não é? Então

R n · S n = R n S n = T n

Assim, se R n e S n convergem, então T n também convergem já que podemos considerar R n e S n como constantes, logo T n também será uma constante.

Portanto ∑ n = 1 ∞ a n b n converge e a afirmação é verdadeira!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Verdadeira

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