UFJF. Equações Diferenciais I. Lista 2022.2. Questão 4f.
4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique
provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
(f) Se e são convergentes, então é convergente.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, nosso intuito é julgar algumas afirmações a respeito de séries e sequencias e dizer se tal afirmação é verdadeira ou falsa além de comprovar nosso resultado com cálculos matemáticos.
No caso a afirmação que vamos analisar nos diz que se temos duas séries e em que as duas são convergentes então certamente também é convergente.
Será mesmo? O que você acha?? 🤔🤔
Para resolver essa questão, vamos considerar e a convergência de e , respectivamente.
Como e convergem, então e são os valores que tais séries vão convergir.
Entendeu essa parte? 😎
Passo 2
Agora vamos chamar o valor que da série , ou seja, a soma do produto de para .
Pelas propriedades dos somatórios, temos que
Então, temos
Mas dizemos que é igual a , não é? Então
Assim, se e convergem, então também convergem já que podemos considerar e como constantes, logo também será uma constante.
Portanto converge e a afirmação é verdadeira!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Verdadeira