Justifique porque as sequências dadas pelos seguintes termos gerais convergem.

d) ∫ 1 n sin 2 ⁡ x x 2 d x

Passo 1

O critério da comparação, que é o que iremos utilizar para provar que a sequencia dada converge, pois calcular essa integral na mão é quase impossível, diz o seguinte

Sejam duas funções f e g continuas, definidas em [ a , ∞ ) , tais que

a ≤ f x ≤ g x

Se nessas condições,

Se ∫ a ∞ g ( x ) d x converge, então ∫ a ∞ f ( x ) d x também converge

Passo 2

Para ∀ x ∈ R ,   0 ≤ sin 2 ⁡ x ≤ 1 , e, portanto, se x ≥ 1 ,

0 ≤ sin 2 ⁡ x x 2 ≤ 1 x 2

Então vamos analisar

∫ - 1 ∞ 1 x 2 d x

= lim t → ∞ ⁡ ∫ - 1 t 1 x 2 d x = - 1 t - 1 = - 1

Como ∫ - 1 ∞ 1 x 2 d x

Converge, temos que

∫ 1 n sin 2 ⁡ x x 2 d x

Também irá convergir

Resposta

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