UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1a
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão é o início de uma longa lista, vamos resolver esse primeiro item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de fatoriais
E quando for assim a primeira coisa que você vai fazer é simplificar para tirar o fatorial da história!
Belezinha até aqui?
No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois
E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?
Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de , e felizmente sabemos o comportamento da série
Ela é a nossa queridinha p-série com , e ela é convergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Obs.: para uma p-série ser convergente, o expoente de deve ser maior do que ! Se então a série é divergente!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos comparar com a série harmônica
Tudo bem até aqui? Sabemos que essa p-série é convergente, então precisamos confirmar que o termo geral da p-série é maior do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por cima” é convergente, a que está “por baixo” também será!
Nosso termo geral
Beleza? E para qualquer valor de temos que
Invertendo as frações, invertemos também o sinal da desigualdade
Perfeito! O termo geral da nossa série é menor do que o termo geral da p-série! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!
Sendo assim
E como converge, nossa série também diverge!
E é isso galera! Vamos para a próxima?