Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

a )   ∑ n = 0 ∞ n ! n + 2 !

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão é o início de uma longa lista, vamos resolver esse primeiro item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 0 ∞ n ! n + 2 !

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de fatoriais

a n = n ! n + 2 !

E quando for assim a primeira coisa que você vai fazer é simplificar para tirar o fatorial da história!

a n = n ! n + 2 n + 1 n ! = 1 n + 2 n + 1

Belezinha até aqui?

No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 n + 1 ∼ lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?

Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de ∼ 1 / n 2 , e felizmente sabemos o comportamento da série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Ela é a nossa queridinha p-série com p = 2 , e ela é convergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Obs.: para uma p-série ser convergente, o expoente de n deve ser maior do que 1 ! Se p ≤ 1 então a série é divergente!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ 1 n + 2 n + 1

E vamos comparar com a série harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Tudo bem até aqui? Sabemos que essa p-série é convergente, então precisamos confirmar que o termo geral da p-série é maior do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por cima” é convergente, a que está “por baixo” também será!

Nosso termo geral

1 n + 2 n + 1 = 1 n 2 + 3 n + 2

Beleza? E para qualquer valor de n > 1 temos que

n 2 + 3 n + 2 > n 2

Invertendo as frações, invertemos também o sinal da desigualdade

1 n 2 + 3 n + 2 < 1 n 2

Perfeito! O termo geral da nossa série é menor do que o termo geral da p-série! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!

Sendo assim

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 3 n + 2 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

E como ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 converge, nossa série também diverge!

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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