UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, 3º Estágio - 2022.1, Questão 3b.
3 – Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.
b) .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge ou diverge.
Lembra como fazemos isso? 🤔
Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.
Se isso não acontecer, o que temos que fazer é partir para a tentativa e erro...
Bora lá! 😁
Passo 2
Nesse caso, podemos pular o teste da divergência pois no denominador da série o polinômio é de ordem e no numerador é de ordem . Então para , vai a .
Para resolver esse problema, vamos apelar para o teste de limite-comparação.
Nesse teste, se tivermos uma segunda série em que a convergência de é conhecida, aplicamos
Se e , é porque as duas séries tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem. Mas se ou , não podemos afirmar nada.
Para o teste, vamos usar o modelo mais simples, as p-séries! Sabemos que uma p-série é dada por , se a série converge, se a série diverge.
Dito isso, vamos usar como , que como é maior que , essa série vai convergir.
Aplicando o teste...
Simplificando...
Por fim, dividindo em cima e embaixo por , temos
Quando tende ao infinito o termo tende a , portanto
Como o limite de foi direrente de e de e converge, então também converge!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Converge pelo teste de limite-comparação