Teste da comparação
Estude a natureza das séries abaixo:
Passo 1
Bom, primeiro vamos tentar dar um palpite sobre a convergência dessa série. Olhando o seu termo geral, vemos que temos tanto no numerador como no denominador, ou seja, o mesmo expoente de , o que nos faz pensar que, mesmo que o termo geral dessa série vá para zero, ele não diminua tão rápido para a série convergir.
Beleza, então vamos tentar provar que essa série diverge. O Teste da razão parece muito complicado de aplicar, o da integral nem se fala né! O da raiz não faz sentido por que já temos uma raiz, não uma potência. O Teste da divergência também não vai dar certo, porque esse maldito ““ faz o termo geral ir para zero:
Sobrou, então, o Teste da comparação, que também não parece um caminho muito bom, mas é o jeito!
Passo 2
Não conseguimos aplicar o Teste da comparação quando temos muitos termos no numerador, não é? Fica difícil achar as relações de maior/ menor entre as séries assim. Então, vamos “concentrar” tudo no denominador. Como assim?
Lembra daquele produto notável ? Usando essa ideia, se a gente multiplicar o numerador por conseguimos nos livrar da raiz. Sim WTF, quem pensaria nisso? Pois é, tem que ter muita inspiração para resolver algumas questões! Vamos fazer isso então:
Certo, conseguimos nos livrar das raízes no numerador, mas e agora?
Passo 3
Vamos comparar isso aí com o que? Bom, tem que ser com alguma série de convergência conhecida, então vamos procurar uma série parecida com essa que encontramos e que nos livre das raízes no denominador, para sabermos dizer sua convergência.
Não seria muito interessante se tivéssemos no denominador? Dessa forma, as raízes iriam sumir, pois
E essa série diverge. Ok, mas em que isso nos ajuda? Olha o seguinte:
Ou seja, mostramos, por meio de muitas bruxarias, que a série do problema tem termos maiores que os de uma série que diverge, logo, ela também diverge.
Resposta
A série diverge.