UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1i
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
E aí, tudo bem? Essa questão é o final de uma longa lista, vamos resolver esse último item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de polinômios
E se simplificarmos por em cima e embaixo vamos ter o seguinte
No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois
E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?
Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de , e felizmente sabemos o comportamento da série
Ela é a nossa queridinha série harmônica, e ela é divergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos comparar com a série harmônica
Tudo bem até aqui? Sabemos que a série harmônica é divergente, então precisamos confirmar que o termo geral da harmônica é menor do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por baixo” é divergente, a que está “por cima” também será!
Nosso termo geral
Beleza? E para qualquer valor de temos que
Perfeito! O termo geral da nossa série é maior do que o termo geral da série harmônica! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!
Sendo assim
E como diverge, nossa série também diverge!
E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?