Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

i )   ∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2

Passo 1

E aí, tudo bem? Essa questão é o final de uma longa lista, vamos resolver esse último item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de polinômios

a n = n + 1 n 2

E se simplificarmos por n em cima e embaixo vamos ter o seguinte

a n = 1 + 1 / n n

No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 / n n ∼ lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?

Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de ∼ 1 / n , e felizmente sabemos o comportamento da série

∑ n = 1 ∞ 1 n

Ela é a nossa queridinha série harmônica, e ela é divergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2

E vamos comparar com a série harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n

Tudo bem até aqui? Sabemos que a série harmônica é divergente, então precisamos confirmar que o termo geral da harmônica é menor do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por baixo” é divergente, a que está “por cima” também será!

Nosso termo geral

n + 1 n 2 = n n 2 + 1 n 2 = 1 n + 1 n 2

Beleza? E para qualquer valor de n > 1 temos que

1 n + 1 n 2 > 1 n

Perfeito! O termo geral da nossa série é maior do que o termo geral da série harmônica! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!

Sendo assim

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 2 > ∑ n = 1 ∞ 1 n

E como ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge, nossa série também diverge!

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d i v e r g e n t e

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