9 - Determine se a série converge ou diverge.

c) ∑ n = 1 ∞ sin 2 ⁡ n 2 n

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ sin 2 ⁡ n 2 n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste da comparação.

Esse teste consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Dessa forma, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge, mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, sabemos que sin 2 ⁡ n ≤ 1 . Dividindo os dois lados por 2 n , temos

sin 2 ⁡ n 2 n ≤ 1 2 n

Portanto vamos analisar se b n = 1 2 n converge...

Podemos aplicar o teste da raiz fazendo lim n → ∞ ⁡ b n 1 n = L , assim se L < 1 a série b n converge...

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 1 n → lim n → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

Vemos que L = 1 2 e, portanto, b n converge.

Logo, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Converge pelo teste da comparação.

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