UFRJ, Sem Campus, Cálculo 4, Listas de C4 - Profª Cristiane Oliveira - Lista 1 - Séries e Sequências, Questão 6
O significado da representação decimal de um número (onde o algarismo é um dos números ) é que:
Mostre que essa série sempre converge.
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um número qualquer que é representado da seguinte forma:
Sabendo disso, para provar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Comparação!!!
Sejam duas séries de termos positivos e :
Nesse sentido, para achar a comparação correta, vamos pensar o seguinte:
Se é um dos números então podemos afirmar que . Assim, temos:
Dessa forma só nos basta provar a convergência da seguinte série:
😉
Passo 2
Antes de provar a convergência da série, vamos relembrar o conceito sobre a série geométrica.
Se for um número entre e , então a série sempre irá convergir para:
Então... vemos que trata-se de uma série geométrica e, para ele ter mais uma carinha da série geométrica vamos fazer uma pequena manipulação algébrica:
Onde e .
Dessa forma, como , então a série converge.
Assim, pelo Teste da Comparação, a série
Também converge!!
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
A série converge