O significado da representação decimal de um número 0 , d 1 d 2 d 3 … (onde o algarismo d i é um dos números 0,1 , 2 , … , 9 ) é que:

0 , d 1 d 2 d 3 d 4 … = d 1 10 + d 2 100 + d 3 1000 + d 4 10000 + …

Mostre que essa série sempre converge.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá um número qualquer que é representado da seguinte forma:

0 , d 1 d 2 d 3 d 4 … = ∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Sabendo disso, para provar a convergência da série, podemos utilizar o Teste da Comparação!!!

Sejam duas séries de termos positivos ∑ a n e ∑ b n :

s e   a n ≤ b n   e   b n   c o n v e r g e ,   e n t ã o   a n t a m b é m   c o n v e r g e s e   a n ≥ b n   e   b n   d i v e r g e ,   e n t ã o   a n t a m b é m   d i v e r g e

Nesse sentido, para achar a comparação correta, vamos pensar o seguinte:

Se d n é um dos números 0,1 , 2 , … , 9 então podemos afirmar que d n ≤ 9 . Assim, temos:

d n 10 n ≤ 9 10 n

Dessa forma só nos basta provar a convergência da seguinte série:

∑ n = 1 ∞ 9 10 n

😉

Passo 2

Antes de provar a convergência da série, vamos relembrar o conceito sobre a série geométrica.

Se r for um número entre 1 e - 1 , então a série sempre irá convergir para:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r

Então... vemos que trata-se de uma série geométrica e, para ele ter mais uma carinha da série geométrica vamos fazer uma pequena manipulação algébrica:

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 10 * 1 10 n - 1

Onde a = 9 10 e r = 1 10 .

Dessa forma, como r < 1 , então a série converge.

Assim, pelo Teste da Comparação, a série

∑ n = 1 ∞ d n 10 n

Também converge!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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