Determine se a série converge ou diverge.

k) ∑ n = 0 ∞ 2 n 3 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.

Pra isso, vamos primeiro tentar associar nossa série com uma série conhecida, como a série geométrica. A série geométrica é dada de forma geral por:

∑ n = 0 ∞ a r n = a + a r + a r 2 + …

E ela é convergente se r < 1 , ou seja, a série converge para a razão r no intervalo de - 1 a 1 . Sendo assim, ela tem sua soma dada por:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Mas, se r ≥ 1 , a série geométrica diverge. Agora repare que a nossa série tem o formato bem parecido com o da série geométrica, olha só:

∑ n = 0 ∞ 2 n 3 n = ∑ n = 0 ∞ 2 3 n

Então vamos avaliar ∑ n = 0 ∞ 2 3 n com base nos critérios de convergência da série geométrica.

Vamos lá!

Passo 2

Observe que na nossa série, temos a = 1 e nossa razão é r = 2 3 , que é menor do 1 . Então, podemos dizer que a série converge.

∑ n = 0 ∞ 2 3 n → c o n v e r g e

Passo 3

Agora podemos calcular a soma da série, que é pra onde ela converge, usando a definição:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Substituindo a = 1 e r = 2 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ 2 3 n = 1 1 - 2 3

Simplificando:

= 1 1 3 = 3

Portanto, nossa série converge para 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

∑ n = 0 ∞ 2 3 n = 3

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