3 – Discuta a convergência (diverge ou converge condicionalmente ou converge absolutamente) das séries abaixo:

a) ∑ s e c n n 3 4

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse probleminha, temos que obter a convergência da série e dizer se é divergente ou se é convergente (absolutamente ou condicionalmente).

No caso, a série é dada como ∑ s e c n n 3 4

Tem ideia como podemos obter a convergência dessa série?? 🤔🤔

O que acha de aplicarmos o teste da comparação?

Esse teste pode ser uma boa escolha pois nossa sé se parece bastante com uma p-série a n = 1 n p , não é?

Bora ver! 😁

Passo 2

O teste da comparação consiste em comparar a série que queremos analisar com uma série que já sabemos o resultado.

No caso, a série que queremos obter a convergência é dada como a n = s e c n n 3 4 e vamos comparar com b n = 1 n 3 4 .

Mas porque essa série? 🤔

Perceba que as séries do tipo 1 n p são chamadas de p-séries e se p for maior que 1 , a série converge, mas se p for menor ou igual a 1 , a série diverge.

Portanto b n possui p menor que 1 , logo b n diverge!

Dessa forma, pelo teste da comparação, se a n for maior que b n , certamente a n diverge, já que se b n que é menor diverge, uma série maior deve divergir.

Entendeu? 😎

Passo 3

Comparando a n com b n , temos

a n ? b n

s e c n n 3 4 ? 1 n 3 4

No caso, ? é ou > , mas ainda não sabemos

Mas sabemos que sec ⁡ n varia entre - ∞ , - 1 e 1 , ∞ como podemos ver no gráfico de s e c n .

Com isso, podemos afirmar que s e c n ≥ 1 , ou seja, reescrevendo a n como

a n = s e c n 1 n 3 4

Logo, vemos que

s e c n 1 n 3 4 ≥ 1 n 3 4

Portanto a n ≥ b n , com isso, se b n diverge, certamente a n também diverge!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a n diverge.

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