Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:

o) ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. O primeiro teste que nós podemos tentar aplicar pra testar essa convergência é o teste da divergência.

O teste da divergência nos diz que toda série convergente tem:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Então, de forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e der diferente de zero, podemos dizer que a série é divergente.

Mas, se liga, ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero, mas ele não diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente, beleza? Ela pode ou não convergir quando o resultado é zero. Mas se for diferente de zero, já podemos garantir sua divergência.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa série é dada por:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n + 1

Então, nosso termo geral será:

a n = ln ⁡ n 2 n + 1

Escrevendo o nosso limite, de acordo com teste da divergência, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 1

Dividindo todo mundo por n no argumento da função:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 2 n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 2 + 1 n

Então, quando n → ∞ , temos

= ln ⁡ 1 2 + 0 = ln ⁡ 1 2

Usando as propriedade de logaritmo, podemos escrever:

ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

E como ln ⁡ 1 é igual a zero, nosso resultado será:

- ln ⁡ 2

Portanto, temos lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 . Consequentemente, nossa série é divergente, pelo teste da divergência.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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