UTFPR– Cálculo Avançado – Lista 4 – Questão 1f
Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão está no final de uma longa lista, vamos resolver juntos esse item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)
Precisamos decidir se essa série
Converge ou diverge
E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de fatoriais
Belezinha até aqui?
No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois
E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?
Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de , e felizmente sabemos o comportamento da série
Ela é a nossa queridinha série geométrica de razão , e ela é convergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Obs.: para uma série geométrica ser convergente, a razão deve ser menor do que ! Se então a série é divergente!
Passo 2
Nossa série é a seguinte
E vamos comparar com a série geométrica de razão
Tudo bem até aqui? Sabemos que essa série é convergente, então precisamos confirmar que o termo geral da série geométrica é maior do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por cima” é convergente, a que está “por baixo” também será!
Nosso termo geral
Beleza? E para qualquer valor de o valor de seno ao quadrado pode valer no máximo ! Assim temos que
Dividindo dos dois lados por temos
Perfeito! O termo geral da nossa série é menor do que o termo geral da série geométrica! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!
Sendo assim
E como converge, nossa série também diverge!
E é isso galera! Vamos para a próxima?