Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes

f )   ∑ n = 1 ∞ s e n 2 n 2 n

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão está no final de uma longa lista, vamos resolver juntos esse item? (o restante dela você pode encontrar no nosso site!)

Precisamos decidir se essa série

∑ n = 1 ∞ s e n 2 n 2 n

Converge ou diverge

E qual teste usar? Essa é a pergunta de milhões! Bom, olhando com carinho essa série vemos que temos no seu termo geral uma razão de fatoriais

a n = s e n 2 n 2 n

Belezinha até aqui?

No infinito o termo geral vai à zero, então o teste da divergência falha nesse caso, pois

lim n → ∞ ⁡ s e n 2 n 2 n ∼ lim n → ∞ ⁡ 1 2 n = 0

E quando o limite do termo geral vai à zero, a série pode divergir ou convergir, então o que fazer?

Mas olha só, temos que esse termo geral tem cara de ∼ 1 2 n , e felizmente sabemos o comportamento da série

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Ela é a nossa queridinha série geométrica de razão q = 1 / 2 , e ela é convergente! Então é com ela que vamos comparar a nossa série: o teste aqui é o teste de comparação

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Obs.: para uma série geométrica ser convergente, a razão q deve ser menor do que 1 ! Se q ≥ 1 então a série é divergente!

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ s e n 2 n 2 n

E vamos comparar com a série geométrica de razão 1 / 2

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Tudo bem até aqui? Sabemos que essa série é convergente, então precisamos confirmar que o termo geral da série geométrica é maior do que o termo geral da nossa série. Assim se a série que está “por cima” é convergente, a que está “por baixo” também será!

Nosso termo geral

s e n 2 n 2 n

Beleza? E para qualquer valor de n > 1 o valor de seno ao quadrado pode valer no máximo 1 ! Assim temos que

s e n 2 n ≤ 1

Dividindo dos dois lados por 2 n temos

s e n 2 n 2 n ≤ 1 2 n

Perfeito! O termo geral da nossa série é menor do que o termo geral da série geométrica! Nosso teste da comparação funciona nesse caso!

Sendo assim

∑ n = 1 ∞ s e n 2 n 2 n < ∑ n = 1 ∞ 1 2 n

E como ∑ n = 1 ∞ 1 2 n converge, nossa série também diverge!

E é isso galera! Vamos para a próxima?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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