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Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

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Enunciado

Teste da razão, Teste da comparação

Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:

b )   A   s é r i e   ∑ n = 0 ∞ 1 - - 1 n n 2 cos ⁡ n   é   c o n v e r g e n t e

Passo 1

Vamos primeiro verificar que se n for par:

∑ k = 0 ∞ 1 - - 1 2 k ( 2 k ) 2 cos ⁡ 2 k = ∑ k = 0 ∞ 1 - ( 1 ) ( 2 k ) 2 cos ⁡ 2 k = 0

Se n for ímpar:

∑ k = 0 ∞ 1 - - 1 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ 2 k = ∑ k = 0 ∞ 1 - ( - 1 ) ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 )

Show. Então nossa série na verdade se resume a:

∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 )

Passo 2

E como fazemos pra ver se essa série é convergente?

Vou te dar uma dica boa. Se:

∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 )

For convergente, então:

∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 )

Também é convergente. Vamos fazer uma comparação:

2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) ≥ 0

Mas:

2 ( 2 k + 1 ) 2 cos ⁡ ( 2 k + 1 ) ≤ 2 ( 2 k + 1 ) 2

Porque:

cos ⁡ ( 2 k + 1 ) ≤ 1

Como já sabemos que a série 2 ( 2 k + 1 ) 2 é uma p-série com p = 2 , ela converge, assim, pelo critério da comparação, a série converge absolutamente.

A afirmação é verdadeira.

Resposta

b) Verdadeira

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