UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 11, Questão 20.
A série
É convergente por comparação com a serie .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, o que temos que fazer é aplicar o teste da comparação entre as séries e e verificar se converge se comparando com .
Tem ideia do que podemos fazer? 🤔
O teste da comparação consiste em, literalmente, comparar duas séries.
Dados e duas séries, se e sabemos que diverge, então podemos afirmar que também diverge.
Mas se sabemos que converge, então podemos afirmar que também converge!
Sacou? Bora analisar nosso caso! 😁
Passo 2
A primeira coisa é vermos se converge.
Analisando a estrutura dessa série, vemos que se trata de uma p-séries (uma constante sendo dividida por , se , a série converge, se a série diverge).
Como , nesse caso, então podemos afirmar que a série converge!
O que nos resta é comparar as duas séries.
Ou seja, se for menor que , podemos afirmar que converge.
Tem ideia de como fazemos isso? 🤔
Se for menor que , então os termos da série são menores que .
Então vamos escrever alguns termos de
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Agora escrevendo alguns termos de
Lembrando que
Então perceba que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador dos termos de .
Para efeito de comparação, vamos ver os termos de e em seus valores decimais.
Perceba que decresce muito mais rápido, então podemos afirmar que é realmente menor que e consequentemente converge pelo teste da comparação! 😁
Com isso, vemos que a afirmação do enunciado é verdadeira!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Verdadeira!