A série

∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n

É convergente por comparação com a serie ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, o que temos que fazer é aplicar o teste da comparação entre as séries ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n e ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 e verificar se ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n converge se comparando com ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 .

Tem ideia do que podemos fazer? 🤔

O teste da comparação consiste em, literalmente, comparar duas séries.

Dados a n e b n duas séries, se a n ≤ b n e sabemos que a n diverge, então podemos afirmar que b n também diverge.

Mas se sabemos que b n converge, então podemos afirmar que a n também converge!

Sacou? Bora analisar nosso caso! 😁

Passo 2

A primeira coisa é vermos se ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 converge.

Analisando a estrutura dessa série, vemos que se trata de uma p-séries (uma constante sendo dividida por n p , se p > 1 , a série converge, se p ≤ 1 a série diverge).

Como p = 2 , nesse caso, então podemos afirmar que a série ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 converge!

O que nos resta é comparar as duas séries.

Ou seja, se ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n for menor que ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 , podemos afirmar que ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n converge.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Se a n for menor que b n , então os termos da série a n são menores que b n .

Então vamos escrever alguns termos de ∑ n = 1 ∞ 8 n 2

b n = 8 1 2 + 8 2 2 + 8 3 2 + 8 4 2 …

b n = 8 + 2 + 8 9 + 8 16 …

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora escrevendo alguns termos de ∑ n = 1 ∞ 8 n 2 + 5 n + 9 n 2 e n

a n = 8 1 2 + 5 1 + 9 1 2 e 1 + 8 2 2 + 5 2 + 9 2 2 e 2 + 8 3 2 + 5 3 + 9 3 2 e 3 + 8 4 2 + 5 4 + 9 4 2 e 4 …

a n = 22 e + 51 4 e 2 + 96 9 e 3 + 157 16 e 4 …

Lembrando que e ≅ 2,72

Então perceba que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador dos termos de a n .

Para efeito de comparação, vamos ver os termos de a n e b n em seus valores decimais.

a n = 8,09 + 1,72 + 0,53 + 0,18 …

b n = 8 + 2 + 0,89 + 0,50 …

Perceba que a n decresce muito mais rápido, então podemos afirmar que a n é realmente menor que b n e consequentemente a n converge pelo teste da comparação! 😁

Com isso, vemos que a afirmação do enunciado é verdadeira!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Verdadeira!

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