Determine se a série converge ou diverge.

b) ∑ n = 1 ∞ e - n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

Pra isso, vamos primeiro tentar associar nossa série com uma série conhecida, como a série geométrica. A série geométrica é dada de forma geral por:

∑ n = 0 ∞ a r n = a + a r + a r 2 + …

E ela é convergente se r < 1 , ou seja, a série converge para a razão r no intervalo de - 1 a 1 . Sendo assim, ela tem sua soma dada por:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Mas, se r ≥ 1 , a série geométrica diverge. Agora repare que a nossa série tem o formato bem parecido com o da série geométrica. Só que ela começa em n = 1 , então a gente pode escrever:

∑ n = 1 ∞ e - n = ∑ n = 0 ∞ 1 e n - 1 e 0 = ∑ n = 0 ∞ 1 e n - 1

Então vamos avaliar apenas ∑ n = 0 ∞ 1 e n com base nas definições acima e depois substrair 1 do resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Observe que na nossa série, temos a = 1 e nossa razão é r = 1 e , que é menor do 1 (aproximadamente 0,37 ). Então, podemos dizer que a série converge.

∑ n = 0 ∞ 1 e n → c o n v e r g e

Passo 3

Agora podemos calcular a soma da série, na forma:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Substituindo a = 1 e r = 1 e , temos:

∑ n = 0 ∞ 1 e n = 1 1 - 1 e

Simplificando:

= 1 e - 1 e = e e - 1

Então, subtraindo 1 , vamos ter:

∑ n = 1 ∞ e - n = ∑ n = 0 ∞ 1 e n - 1

= e e - 1 - 1 = 1 e - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C o n v e r g e

∑ n = 1 ∞ e - n = 1 e - 1

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