UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 8p
Determine se a série converge ou diverge.
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.
Lembra que uma série converge se a soma dos termos dela tender a um número e diverge se a soma dos termos dela explodir para infinito. O primeiro teste que nós podemos tentar aplicar pra testar essa convergência é o teste da divergência.
O teste da divergência nos diz que toda série convergente tem:
Então, de forma geral, toda vez que a gente calcula esse limite e der diferente de zero, podemos dizer que a série é divergente.
Mas, se liga, ele diz que toda série convergente tem esse limite igual a zero, mas ele não diz que toda série que tem limite igual a zero é convergente, beleza? Ela pode ou não convergir quando o resultado é zero. Mas se for diferente de zero, já podemos garantir sua divergência.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa série é dada por:
Então, nosso termo geral será:
Calculando o limite pra quando , temos:
Aplicando a regra de L’Hospital, derivando em cima e embaixo pra fugir da indeterminação:
Simplificando:
Assim, aplicando o limite, temos:
Portanto, e nossa série é divergente, pelo teste da divergência.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉