UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 10k.
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
Oii bora resolver essa comigo?
Para determinar se a série
converge ou diverge, podemos usar o teste de convergência.
Vamos aplicar o teste de convergência para ver o comportamento desta série.
O teste de convergência estabelece que, se a sequência associada à série é não negativa, decrescente (ou seja, para todo n), e limitada, e se a série converge, então a série também converge.
No caso da série observe que:
1. A sequência é sempre não negativa para , pois o logaritmo natural é não negativo para é sempre positivo para
2. A sequência é decrescente, pois o denominador aumenta mais rapidamente do que o numerador
Passo 2
Agora, precisamos verificar se a sequência é limitada.
Podemos usar o limite:
Podemos aplicar a regra de L'Hôpital aqui, que nos permite calcular o limite do quociente de duas funções.
A regra de L'Hôpital nos diz que:
Ao calcular as derivadas, obtemos:
Portanto, o limite da sequência é igual a 0.
Agora, temos todos os requisitos do teste de convergência satisfeitos:
1. A sequência é não negativa.
2. A sequência é decrescente.
3. O limite da sequência é 0.
Resposta
Portanto, de acordo com o teste de convergência, a série converge.