Determine se a série converge ou diverge.

d) ∑ n = 1 ∞ 5 n + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

A gente poderia pensar em usar o teste da divergência para verificar isso, mas ele não ajudaria muito, porque lim n → ∞ ⁡ 5 n + 1 = 0 e nesse caso o teste seria inconclusivo.

Mas a gente pode pensar em comparar essa série com outra que a gente já conheça o comportamento, como a série harmônica ∑ n = 1 ∞ 1 n . Olha como ela fica parecida nessa forma:

5 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1

Só que 1 n + 1 é menor que 1 n . E nós sabemos que a série harmônica é divergente. Mas se a série que tá por cima é divergente, não podemos dizer nada sobre a série de baixo. Mesmo assim, a gente continua desconfiando que ela seja divergente, porque no infinito o 1 se torna desprezível perto do n .

Nesse caso, nós podemos recorrer ao teste da comparação no limite. Esse teste nos diz que se temos duas séries de termos positivos, ∑ a n e ∑ b n , se lim n → ∞ ⁡ a n b n = C > 0 (onde C é um número), então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa série é dada por:

5 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1

Vamos colocar o termo geral que está sendo testado em cima, a n = 1 n + 1 , e o termo geral da de teste abaixo, b n = 1 n . Assim, teremos:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 1 n

Fazendo a divisão de frações:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1

E dividindo todo mundo por n , pra fugir da indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ n n n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

Assim, quando n → ∞ , temos:

1 1 + 0 = 1

Logo, lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1 > 0 e como ∑ n = 1 ∞ 1 n é divergente, pelo teste da comparação no limite, nossa série também será divergente.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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