UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 8d
Determine se a série converge ou diverge.
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.
A gente poderia pensar em usar o teste da divergência para verificar isso, mas ele não ajudaria muito, porque e nesse caso o teste seria inconclusivo.
Mas a gente pode pensar em comparar essa série com outra que a gente já conheça o comportamento, como a série harmônica . Olha como ela fica parecida nessa forma:
Só que é menor que . E nós sabemos que a série harmônica é divergente. Mas se a série que tá por cima é divergente, não podemos dizer nada sobre a série de baixo. Mesmo assim, a gente continua desconfiando que ela seja divergente, porque no infinito o se torna desprezível perto do .
Nesse caso, nós podemos recorrer ao teste da comparação no limite. Esse teste nos diz que se temos duas séries de termos positivos, e , se (onde é um número), então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa série é dada por:
Vamos colocar o termo geral que está sendo testado em cima, , e o termo geral da de teste abaixo, . Assim, teremos:
Fazendo a divisão de frações:
E dividindo todo mundo por , pra fugir da indeterminação:
Assim, quando , temos:
Logo, e como é divergente, pelo teste da comparação no limite, nossa série também será divergente.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉