UFJF. Equações Diferenciais I. Prova AV1. 2022.2. Questão 3b.
3 – Discuta a convergência (diverge ou converge condicionalmente ou converge absolutamente) das séries abaixo:
b)
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Temos uma série dada por e temos que dizer se essa série é divergente ou convergente (condicionalmente ou absolutamente).
A ideia é bem simples, não é?
Mas como podemos obter esse resultado?? 🤔🤔
Que tal aplicarmos o teste da comparação? Dessa forma, temos que pensar em uma série muito parecida com a série dada no enunciado para comparar.
Entendeu?
Bora ver como podemos fazer essa questão! 😁😁
Passo 2
Primeiramente, o teste da comparação se dá comparando duas séries e onde será a série que queremos obter a convergência e é a série que sabemos se é divergente ou convergente.
Dessa forma, se for divergente e for maior que , certamente também é divergente.
Já se for convergente e for menor que , então deve ser convergente.
Com isso em mente, podemos usar a série como
Isso porque podemos ver que é maior que já que é .
Ou seja, vamos testar se é divergente.
Aplicando o teste da divergência em , temos
Se o resultado desse limite for , então diverge.
Reescrevendo como potência, temos
Aplicando no limite, temos
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Calculando o limite substituindo por , temos
Como um número pequeno dividido por um número muuuito grande tende a um número muuuito pequeno, então podemos dizer que é igual a .
E com isso, como bem sabemos qualquer número elevado a é igual a , ou seja
Como obtemos um resultado diferente de , então provamos que diverge!
E consequentemente, como vimos que é maior que . ()
Pelo teste da comparação, podemos afirmar que diverge!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
diverge