3 – Discuta a convergência (diverge ou converge condicionalmente ou converge absolutamente) das séries abaixo:

b) ∑ n = 1 ∞ π n n ! + n n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Temos uma série dada por ∑ n = 1 ∞ π n n ! + n n e temos que dizer se essa série é divergente ou convergente (condicionalmente ou absolutamente).

A ideia é bem simples, não é?

Mas como podemos obter esse resultado?? 🤔🤔

Que tal aplicarmos o teste da comparação? Dessa forma, temos que pensar em uma série muito parecida com a série dada no enunciado para comparar.

Entendeu?

Bora ver como podemos fazer essa questão! 😁😁

Passo 2

Primeiramente, o teste da comparação se dá comparando duas séries a n e b n onde a n será a série que queremos obter a convergência e b n é a série que sabemos se é divergente ou convergente.

Dessa forma, se b n for divergente e a n for maior que b n , certamente a n também é divergente.

Já se b n for convergente e a n for menor que b n , então a n deve ser convergente.

Com isso em mente, podemos usar a série b n como

b n = ∑ n = 1 ∞ n n

Isso porque podemos ver que a n é maior que b n já que a n é b n + ∑ n = 1 ∞ π n n ! .

Ou seja, vamos testar se a n é divergente.

Aplicando o teste da divergência em b n , temos

lim n → ∞ ⁡ n n

Se o resultado desse limite for ≠ 0 , então b n diverge.

Reescrevendo n n como potência, temos

n n = n 1 n

Aplicando no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ n 1 n

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Calculando o limite substituindo n por , temos

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = ∞ 1 ∞

Como um número pequeno dividido por um número muuuito grande tende a um número muuuito pequeno, então podemos dizer que 1 ∞ é igual a 0 .

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = ∞ 0

E com isso, como bem sabemos qualquer número elevado a 0 é igual a 1 , ou seja

lim n → ∞ ⁡ n 1 n = 1

Como obtemos um resultado diferente de 0 , então provamos que b n diverge!

E consequentemente, como vimos que a n é maior que b n . ( a n = b n + ∑ n = 1 ∞ π n n ! )

a n ≥ b n

Pelo teste da comparação, podemos afirmar que ∑ n = 1 ∞ π n n ! + n n diverge!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∑ n = 1 ∞ π n n ! + n n diverge

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