Determine se a série converge ou diverge.

r) ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ 2 n

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge. O termo geral da nossa série é dado por:

a n = 1 ln ⁡ 2 n

E sempre que a gente tiver um fatorial ou um expoente desse tipo, a gente pode pensar em utilizar o teste da razão. Isso porque o teste da razão nos diz que se calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

s e   0 ≤ L < 1     e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   L > 1   o u lim n → ∞ ⁡ a n + 1 / a n = ∞   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e s e   L = 1 ,       e n t ã o   n ã o   s e   p o d e   f a l a r   n a d a

Então, vamos calcular nosso limite e verificar a convergência ou divergência dessa série de acordo com as condições do teste.

Vamos lá!

Passo 2

Já sabemos que a n = 1 ln ⁡ 2 n , então a n + 1 será:

a n + 1 = 1 ln ⁡ 2 n + 1

Assim, calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 n + 1 1 ln ⁡ 2 n

= lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2 n + 1 ∙ ln ⁡ 2 n 1 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n ln ⁡ 2 n + 1

Simplificando, temos:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 2 n ln ⁡ 2 n ∙ ln ⁡ 2

= lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 2

Como 1 ln ⁡ 2 é uma constante, nosso limite será:

= 1 ln ⁡ 2 ≈ 1,44

Portanto, lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 ln ⁡ 2 > 1 e podemos dizer que nossa série diverge, pelo teste da razão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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