UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 7n
Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:
n)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.
A gente poderia tentar fazer isso usando o teste da divergência, mas nesse caso, calculando o limite pra quando de , temos zero como resultado. E o teste da divergência nos diz que se esse limite é diferente de zero, a série diverge, mas se é zero, não podemos afirmar se converge ou não.
Então, podemos tentar calcular a soma parcial dessa série, atribuindo alguns valores a ela e calcular o limite para quando . Dessa forma, nós vamos verificar se a nossa série converge para algum valor ou se ela diverge.
Vamos lá!
Passo 2
Como a nossa série é dada por , sua soma parcial pode ser escrita na forma:
Usando as propriedade de logaritmo, temos:
Então, para , vamos ter:
Repare que alguns termos são semelhantes, mas têm sinais diferentes. Sendo assim, esse termos se cancelam e teremos apenas:
Passo 3
A soma dessa série vai determinar se ela converge ou diverge. Essa soma é dada por:
Calculando esse limite, teremos:
Mas o não existe. Então, nós podemos concluir que o limite não existe e consequentemente, nossa série diverge.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉