Quais das séries convergem e quais divergem? Para as séries convergentes, calcule a sua soma:

n) ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge e se ela convergir, calcular sua soma.

A gente poderia tentar fazer isso usando o teste da divergência, mas nesse caso, calculando o limite pra quando n → ∞ de ln ⁡ n n + 1 , temos zero como resultado. E o teste da divergência nos diz que se esse limite é diferente de zero, a série diverge, mas se é zero, não podemos afirmar se converge ou não.

Então, podemos tentar calcular a soma parcial dessa série, atribuindo alguns valores a ela e calcular o limite para quando n → ∞ . Dessa forma, nós vamos verificar se a nossa série converge para algum valor ou se ela diverge.

Vamos lá!

Passo 2

Como a nossa série é dada por ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n + 1 , sua soma parcial pode ser escrita na forma:

S n = ∑ i = 1 n ln ⁡ i i + 1

Usando as propriedade de logaritmo, temos:

S n = ∑ i = 1 n ln ⁡ ( i ) - ln ⁡ ( i + 1 )

Então, para i = 1 ,   2 ,   3 , … , vamos ter:

S n = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 4 + … + ( ln ⁡ ( n ) - ln ⁡ n + 1 )

Repare que alguns termos são semelhantes, mas têm sinais diferentes. Sendo assim, esse termos se cancelam e teremos apenas:

S n = ln ⁡ 1 - ln ⁡ ( n + 1 )

S n = ln ⁡ 1 n + 1

Passo 3

A soma S dessa série vai determinar se ela converge ou diverge. Essa soma é dada por:

S = lim n → ∞ ⁡ S n

S = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 n + 1

Calculando esse limite, teremos:

S = ln ⁡ 0

Mas o ln ⁡ 0 não existe. Então, nós podemos concluir que o limite não existe e consequentemente, nossa série diverge.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D i v e r g e

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