PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1
Questão 1 (Justifique todas as suas respostas):
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Ora, eu não sei você, mas estou sentindo que essa série converge afinal, tem no denominador se assemelhando a uma série com :
E a gente sabe que a série para é convergente.
Quando a gente bate o olho e desconfia comparando com outras séries que temos em mente, é porque o problema pode ser feito usando o teste da comparação! Vamos nessa?
Passo 2
Ora, vamos tentar provar que é menor que para maior :
Bem, se passarmos o para o outro lado...
Como por propriedade de logaritmo ...
Ora, para isso ser sempre verdade temos que menor entre e . E veja que o menor valor de é e mesmo assim...
Quando vai para o infinito...
Por L’Hoptal...
Isso prova que está sempre entre e independende do valor de escolhido, então podemos afirmar que...
E, portanto...
Passo 3
Tá, mas e daí?
Bem, se...
Então...
Logo...
Como essa série maior é a série , ela é convergente, o que implica na série de ser também convergente.
Resposta
Convergente.