UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 8t
Determine se a série converge ou diverge.
t)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.
Pra isso, vamos invocar o teste da integral pra nos ajudar. Esse teste nos diz que se temos uma função decrescente tal que (significa que substituindo um valor na função, teremos o termo geral da série, que é ), então se a integral dessa função converge, a série também converge.
Basicamente, a gente troca o por no nosso termo geral, e teremos a função:
E a gente já percebe que ela decrescente, porque vai diminuindo a medida que aumenta. Então, nós podemos calcular a integral do teste:
Essa é uma integral imprópria (o intervalo de integração é infinito), então pra calculá-la vamos usar a seguinte propriedade:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo nossa integral:
E vamos usar uma substituição pra facilitar nossa vida, chamando:
Dessa forma, nossos intervalos de integração ficam:
Então, substituindo teremos:
Resolvendo a integral, vamos ter o limite:
Quando , temos e . Logo:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉