Verifique se as séries convergem ou divergem.

b ) ∑ n = 1 ∞ n + 4 n n 4  

Passo 1

Olá galera, tudo certo por aí? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos olhar ela com mais carinho

∑ n = 1 ∞ n + 4 n n 4

No infinito, quais termos sobrevivem? Só os de maior expoente né?

n + 4 n n 4 ~ 4 n n 4 ~ 1 n 3

Então é isso!

É isso o que você deve estar se perguntando... com essa aproximação podemos identificar uma série que mais se assemelha com a que temos, e assim poder comparar. Mas como assim??

Quando temos uma série que não se “encaixa” logo de cara com alguma outra, você pode optar por analisar o limite da razão de duas séries, sendo que uma delas você conhece o comportamento e a outra é a que você quer analisar.

Chamamos esse teste de: teste da comparação dos limites

Digamos uma série b n com um determinado comportamento. Vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ a n b n = C

Temos duas opções de resultado

  • Se C > 0 , então ambas as séries têm o mesmo comportamento
  • C = 0 nada podemos afirmar!

Então é isso! Vamos analisar a série que a nossa série se parece no infinito e aplicar o teste da comparação!

Beleza?

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é

a n = ∑ n = 1 ∞ n + 4 n n 4

E no infinito temos que seu comportamento é

b n = ∑ 1 n 3

Que é uma p-série com p = 3 > 1 e portanto convergente! Então ao fazermos a razão a n / b n e avaliarmos o limite, vamos poder identificar o comportamento da nossa série!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de a n / b n quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ n + 4 n n 4 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ n + 4 n n 4 . n 3 1

lim n → ∞ ⁡ n 7 / 2 + 4 n 4 n 4

No infinito apenas os termos de maior expoente vão sobreviver, então

~ lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 n 4 = lim n → ∞ ⁡ 4 = 4 > 0

Beleza? Isso significa que ambas séries tem o mesmo comportamento!

Como a série que comparamos é convergente, então nossa série

∑ n = 1 ∞ n + 4 n n 4

Também converge!

Partiu treinar mais?

Resposta

c o n v e r g e n t e

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