UTFPR – Cálculo 3 – AV3 – Questão 2b
Verifique se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Olá galera, tudo certo por aí? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Vamos olhar ela com mais carinho
No infinito, quais termos sobrevivem? Só os de maior expoente né?
Então é isso!
É isso o que você deve estar se perguntando... com essa aproximação podemos identificar uma série que mais se assemelha com a que temos, e assim poder comparar. Mas como assim??
Quando temos uma série que não se “encaixa” logo de cara com alguma outra, você pode optar por analisar o limite da razão de duas séries, sendo que uma delas você conhece o comportamento e a outra é a que você quer analisar.
Chamamos esse teste de: teste da comparação dos limites
Digamos uma série com um determinado comportamento. Vamos fazer
Temos duas opções de resultado
- Se , então ambas as séries têm o mesmo comportamento
-
C = 0 nada podemos afirmar!
Então é isso! Vamos analisar a série que a nossa série se parece no infinito e aplicar o teste da comparação!
Beleza?
é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa série é
E no infinito temos que seu comportamento é
Que é uma p-série com e portanto convergente! Então ao fazermos a razão e avaliarmos o limite, vamos poder identificar o comportamento da nossa série!
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos calcular o limite de quando :
No infinito apenas os termos de maior expoente vão sobreviver, então
Beleza? Isso significa que ambas séries tem o mesmo comportamento!
Como a série que comparamos é convergente, então nossa série
Também converge!
Partiu treinar mais?