UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 4, Questão 8m
Determine se a série converge ou diverge.
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar se a séria converge ou diverge.
A gente poderia pensar em usar o teste da divergência para verificar isso, mas ele não ajudaria muito, porque e nesse caso o teste seria inconclusivo.
Mas a gente pode pensar em comparar essa série com outra que a gente já conheça o comportamento, como a série harmônica . Olha como ela fica parecida nessa forma:
Só que é menor que . E nós sabemos que a série harmônica é divergente. Mas se a série que tá por cima é divergente, não podemos dizer nada sobre a série de baixo. Mesmo assim, a gente continua desconfiando que ela seja divergente, porque no infinito o se torna desprezível perto do e a mesma coisa vale pra aquele que tá multiplicando e substraindo a série.
Nesse caso, nós podemos recorrer ao teste da comparação no limite. Esse teste nos diz que se temos duas séries de termos positivos, e , se (onde é um número), então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Vamos lá!
Passo 2
Nossa série é dada por:
Vamos colocar o termo geral que está sendo testado em cima, , e o termo geral da de teste abaixo, . Assim, teremos:
Fazendo a divisão de frações:
E dividindo todo mundo por , pra fugir da indeterminação:
Assim, quando , temos:
Logo, e como é divergente, pelo teste da comparação no limite, nossa série também será divergente. Teremos multiplicando uma série divergente, mas isso não afeta nosso resultado, porque ela vai continuar sendo divergente.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉