Considere as seguintes afirmações sobre as séries A = ∑ n = 1 ∞ a n e B = ∑ n = 1 ∞ b n

  1. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   converge, então a série ( B )   converge.
  2. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A ) converge, então a série ( B )   diverge.
  3. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   diverge, então a série ( B )   diverge.
  4. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   diverge, então a série ( B )   converge.

É correto afirmar:

Escolha uma opção:

  1. Apenas a afirmação (II) é verdadeira
  2. Apenas a afirmação (IV) é verdadeira
  3. Apenas a afirmação (III) é verdadeira
  4. Todas as afirmações são falsas
  5. Existem exatamente três afirmações verdadeiras
  6. Todas as afirmações são verdadeiras
  7. Existem exatamente duas afirmações verdadeiras
  8. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

Passo 1

Faaaaaala, galera. Tudo tranquilo por aí?? 😊

Bora comigo que vou te ajudar a entender melhor essa questão!!!

Bom, esse enunciado conta pra gente que existem duas séries: a série A = ∑ n = 1 ∞ a n e B = ∑ n = 1 ∞ b n .

E dá pra gente quatro afirmações sobre a relação entre os termos gerais das séries dada por

0 < a n < b n

E como essa relação pode nos trazer informações relevantes sobre a convergência ou a divergentes das séries A e ( B ) .

Antes de começarmos a falar sobre a convergência ou a divergência das séries, vamos só destacar aqui alguns pontos importantes sobre a relação:

  1. Repare que 0 < a n ou seja, a série A é completamente positiva, não sendo uma série alternada, por exemplo.
  2. E a n < b n ou seja, a série ( B ) é maior que a série ( A ) .

Essas condições nos ajudarão a relacionar a condição de convergência ou divergência das séries. Então vamos analisar cada uma das afirmações.

Passo 2

Para fazer a análise vamos usar o teste da comparação entre as séries. A ideia consiste em comparar mesmo a série que queremos estudar a convergência, com uma série que já conhecemos.

Veja o esquema

Temos nele três regiões, uma onde podemos localizar as séries que sabemos que convergem, outra onde podemos localizar as séries em que temos certeza sobre a divergência e a região do meio onde poderão ficar as séries em que não podemos afirmar nada sobre a divergência ou convergência.

Vamos agora analisar a primeira afirmação:

  1. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   converge, então a série ( B )   converge.
  2. Ou seja, podemos localizar a série ( A ) na região de convergência. Mas a relação nos diz que a série ( B ) é maior que a série ( A ) , pois a n < b n . Então a série ( B ) estará acima de ( A ) .

    E não podemos ter certeza sobre a convergência ou divergência de ( B ) . ☹.

    Assim, essa afirmação não pode ser necessariamente verdadeira.

    Passo 3

    Vamos dar uma olhada na segunda afirmação:

  3. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A ) converge, então a série ( B )   diverge.
  4. E localizando as séries em nossas regiões acontece exatamente o mesmo que no caso anterior:

    Ou seja, não podemos afirmar nada sobre a divergência de ( B ) se só sabemos que ( A ) converge. ☹

    E essa afirmação não pode ser necessariamente verdadeira.

    Passo 4

    Agora vamos analisar a terceira afirmação.

  5. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   diverge, então a série ( B )   diverge.
  6. Repare que agora sabemos que a série A é divergente, então vamos localizá-la nessa nova região, e sabemos também que a série ( B ) deverá ficar acima dela.

    Repare que como a série B é maior que a série ( A ) , e sabemos que a série ( A ) diverge, podemos afirmar com certeza que a série ( B ) também divergirá.

    E essa é uma afirmação verdadeira 😊.

    Passo 5

    E para fechar com chave de ouro, vamos analisar nossa quarta e última afirmação.

  7. Considere que 0 < a n < b n . Se a série ( A )   diverge, então a série ( B )   converge.

Ahhh essa é falsa com certeza, porque olha para o esquema:

Se B é maior que ( A ) , e ( A ) é uma série divergente, então não tem nem como ( B ) ser convergente. Sacou?!!!

E essa é uma afirmação falsa. 😊

Agora que já analisamos tudo, é só marcar a resposta certa e corre para o abraço.

E até a próxima!!!

Resposta

Resposta:

  1. Apenas a afirmação (III) é verdadeira

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge.5. ∑ n = 1 ∞ n + 1 n n
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ n 3 n 4 - 1
Determine se a série converge ou diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1
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