Teste a série
Quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Como o termo geral da série tende para zero, o Teste da divergência não nos ajuda aqui, vamos tentar usar o da comparação. Antes, precisamos ter uma ideia sobre a convergência.
Essa série se parece bastante com a harmônica
Então, parece que essa série tende a divergir também. É isso que tentaremos provar!
Passo 2
Precisamos, então, mostrar que a série do problema tem termos maiores dos que os de uma série que diverge. Aqui, temos um detalhe interessante, perceba que podemos dizer o seguinte:
Mas para todos os valores? Não, apenas quando
Ou seja,
Como o valor de é não inteiro e maior que , podemos afirmar que a relação acima vale para . Mas podemos fazer esse tipo de restrição para aplicar o Teste da comparação? Sim, pois o que importa para o teste é a tendência das séries do infinito, pois é assim que analisamos a convergência.
Então, como a partir de , a série do problema tem termos maiores que os da Série harmônica, pelo Teste da comparação, podemos dizer que ela diverge.
Resposta
A série diverge.