UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha
A série
Converge.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Para sabermos se essa série converge ou não podemos usar o teste da comparação ao nosso favor.
Uma das coisas que o teste diz é que se pegarmos uma série maior que a que a gente tem e ela convergir, logo limitando a nossa série por cima, e se acharmos outra série menor que a nossa e que converge ou mostrando que a nossa série é sempre positiva, a nossa série converge também.
Então vamos ver se a gente consegue usar esse teorema ao nosso favor.
Passo 2
Nós temos a seguinte série:
Essa série é sempre maior que já que é sempre positivo, então ela é limitada inferiormente, então não tem como a nossa série divergi para o negativo.
Passo 3
Agora temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.
Nós podemos usar a seguinte:
Já que:
Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.
E essa série converge, já que:
é convergente se e divergente se .
Então a série que estamos usando converge já que .
Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.
Passo 4
Então juntando tudo o que a gente tem, ficamos com:
Logo a série converge.
Resposta
Verdadeiro.