3 . A série

∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 + k 3 + k

Converge.

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para sabermos se essa série converge ou não podemos usar o teste da comparação ao nosso favor.

Uma das coisas que o teste diz é que se pegarmos uma série maior que a que a gente tem e ela convergir, logo limitando a nossa série por cima, e se acharmos outra série menor que a nossa e que converge ou mostrando que a nossa série é sempre positiva, a nossa série converge também.

Então vamos ver se a gente consegue usar esse teorema ao nosso favor.

Passo 2

Nós temos a seguinte série:

∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 + k 3 + k

Essa série é sempre maior que 0 já que k é sempre positivo, então ela é limitada inferiormente, então não tem como a nossa série divergi para o negativo.

Passo 3

Agora temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.

Nós podemos usar a seguinte:

∑ k = 1 + ∞ 1 k 5

Já que:

∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 > ∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 + k 3 + k

Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.

E essa série converge, já que:

∑ p = 1 + ∞ 1 n p é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Então a série que estamos usando converge já que p = 5 > 1 .

Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.

Passo 4

Então juntando tudo o que a gente tem, ficamos com:

∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 > ∑ k = 1 + ∞ 1 k 5 + k 3 + k > 0

Logo a série converge.

Resposta

Verdadeiro.

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